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花香满径的博客

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2013年10月16日解题法(角平分线及综合问题)  

2013-10-16 20:23:22|  分类: 爱上数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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1、在Rt三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为BC上的点,连接AM,如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的 中点D处,那么点M到AC的距离为多少

解:由题意将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点D处
则易知AM是∠BAC的平分线
且AB=AD=1/2 *AC=3
所以AC=6
以下点M到AC的距离即△ACM边AC上的高为h
因为AM是∠BAC的平分线
所以点M到AB和AC的距离相等
则由S△ABC=S△ABM+S△ACM可得:
1/2 *AB*AC=1/2 *h*AB+1/2 *h*AC
所以h=AB*AC/(AB+AC)=3*6/(3+6)=2
即点M到AC的距离为2

注:此题运用三角形面积公式结合解方程法巧妙解答。

2、

2013年10月16日解题法(角平分线及综合问题) - 花香满径 - 花香满径的博客

 解法一:
 证明:在AM的延长线上取点N,使MN=AM,连接BN、CN
     ∵M是BC的中点,MN=AM
     ∴平行四边形ABNC
     ∴CN=AB,∠BAC+∠ACN=180
     ∵∠BAD=∠CAE=90
    ∴∠BAC+∠DAE=360-∠BAD-∠CAE=180
     ∴∠DAE=∠ACN
    ∵AD=AB
    ∴AD=CN
    ∵AC=AE
    ∴△ACN≌△AED  (SAS)
    ∴DE=AN
    ∵AN=AM+MN=2AM
    ∴2AM=DE

解法二:
       把三角形DAE旋转下来,使AE与AC重合,重合后,构成新的三角形BC(E)D,A, M分别为边BC和BD的中点,三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线, 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
 
     
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